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ご専门は「非线形の波动方程式」の研究だそうですが、そもそも数学の研究ってどんなことをするのでしょうか。まずはそこを质问させていただきました。
数学の工作倶楽部をされているということで、いろいろな面白い作品を见せていただきました。ハートを描く方程式なんていうものがあるんですね。

インタビュアー（以下、イ）：今回のインタビューは数理科学科准教授の廣澤 史彦先生です。よろしくお願いします。

廣澤 史彦先生（以下、廣）：よろしくお願いします。

数学の研究

广：数学が好きな中高生に、なぜ数学が好きかと闻くと、国语や英语と违って数学は明确な答えがあるからだと言います。でも多分本当はそこへたどり着くいろいろな道筋を考えるのが面白いんじゃないかな。同じ一つの答えに至る求め方はいくつもある。逆に一见复雑そうに见える物事の本质を単纯に表そうとする挑戦。それも数学の一つの目的です。　

广：例えばこれらの多面体では面?顶点?辺の数はこうなっています。この中で共通のルールを探してみましょう。さて、分かりますか？

イ：えーっ？
＿＿＿＿えっとえっと???

广：顶点の数-辺の数+面の数＝2　です。

イ：あ、ほんとだ。

广：オイラーの多面体定理っていうんですよ。
正多面体はこういう性质を持っていると言える。全く违うものが同じように表せているでしょう？一见异なるものを记述する一つの法则があるということです。これが数学の面白さです。

波动方程式の研究って？

イ：先生はどんな研究をされているんですか？

广：私达の身の回りにある様々な现象は微分方程式によって记述されると考えられています。
私の研究対象は、その中でも「波动方程式」とよばれる、水面の起伏の変化や空気中を伝わる音、地震波や电磁波などを记述する偏微分方程式です。

まず、余分なファクターを全て排除した、最も简略化された波の方程式がこれです。

广：波动方程式は波の动きを表す方程式ですからこの波动方程式を満たしているものは、波の现象を记述する関数であると言えます。これを満たす解は无限にあります。
実际の波の现象には様々な要素が混ざり合っているのですが、全部の要素をいっぺんに考えようとするとしっちゃかめっちゃか収集がつかなくなるので、研究者は基本の方程式に形状の変化、摩擦の有无、密度の変化といった要素の记述を个别に与えて波の动きの解析を行うんです。（図：葛饰北斎「神奈川冲浪里」）
その中の困难な要素として「非线形のファクター」があります。

この「非线形の波动方程式」の解がどんなふうになっているかということを研究しています。

イ：「非线形のファクター」???ってどういうものですか？

广：多様な构造と运动を表すもので、例えば、一番基本の波动方程式に伸び缩みする弦という要素を付け加えた非线形の波动方程式を研究しています。
伸び缩みしない弦だと张力は常に一定ですが、ゴム纽を振动させるとゴムが伸び缩みするので弦の长さも张力も変化しますね。これを记述する非线形波动方程式がこのキルヒホフ方程式です。

广：非线形の要素を加えると、基本の波动方程式では简単だった议论が格段に复雑になってくるんです。具体的な解は书けない、できるかどうかも分からない。もっと基本的なレベルまで议论しなければならない。

イ：???既にある方程式なんですよね？

广：はい、既に物理的モデルとして提唱されているものです。

イ：???方程式が出来てるならそれを解けばいいということですよね？

广：まず、解の在る无しの议论から。

イ：え？解があるかどうか？

广：方程式があるということとその解があるということはものすごい隔たりがあるんですよ。数学の世界ではむしろ解が具体的にある场合が珍しい。
物理现象で记述される解は存在しないかもしれないです。

イ：式があっても解は无いかもしれないんですか???

广：沢山の研究者が百年以上も取り组んでいる未解决の问题は多いですよ

来研中のサンパウロ大学（ブラジル）の研究者Malcelo Ebertさんと討論中

广：キルヒホフ方程式は、そういった未解决の方程式としてはポピュラーなものです。
分からないからいろいろな制约のもとで、多くの研究者が部分的な解を出し続けているんです。
そして、解があるなら、どういう世界で存在するか、どういう条件ならば存在するか、解の挙动は示せるか。例えばだんだん振动がなくなってくるとか激しくなるとかね。
いろいろなレベルの议论があるんですよ。
勿论、目标は広い条件のもとでの解を求めることですが、それがなかなか难しいです。

广：一般に非线形の波动方程式というものは解が时间大域的に存在することはないんです。フィードバックするものなので自分自身の影响が形を変えて戻ってきて、时间が経ったら爆発してしまう。

イ：爆発!?

广：ええ。ですがキルヒホフ方程式では、すごく滑らかな初期状态なら、いつまでも解があることが分かっている。
しかし、ものすごく滑らかでない条件に対して时间大域が存在するかっていうのが问题で???これは、ずっと解决されてない

イ：だんだんわけがわからなくなってきました（涙） のーみそばくはつしそうです

广：（笑）私の研究の目标の一つはこれを解决すること
それが僕のやっている研究の主要な柱の一つです。

イ：未解决问题の解明への挑戦ということですね。

津波ＣＧ

イ：津波がどれくらいの大きさでいつ到达するかといった予测に使うのが、この波动方程式でしょうか？

广：津波のシミュレーターで波が押し寄せるＣＧを见た事がありますか？
ああいうシミュレーションの际もベースにあるものではあります。

イ：ふーん。ああいったＣＧはこの関数で作られているのか???

广：いや、えっと???そうと言ってもいいのですが、この方程式がすぐそれに使えるわけではないですよ。
この方程式は1次元ですが　2次元版の波动方程式をベースにして、もっと复雑な要素を盛り込んだものになります。
それこそ津波なら海底の深さや陆地の形状等、沢山要素があるから、こんなに単纯には出来ません。
复雑になると求めることが难しいのでコンピュータに近似した计算をさせて、地震直后の波の様子の1つのパターンを见せているんです。ああいうのを作るのはどちらかというと工学の话になりますね。
で、どうするかというと???あーこれを続けると専门から离れてしまう。

イ：あ、违うんですか？

广：そんなに复雑な微分方程式が用いられているわけではないですから、非线形の波动方程式をやっている人なら専门でなくとも、このＣＧがどういうシミュレーションでなされているか、どんな要素や难しさがあるかなどのメカニズムはなんとなくわかります。
ですから、研究対象のカテゴリとしては违うが延长线上にはあるというのは嘘ではないでしょう。
ああいうシミュレーションはもっと别の方向の技术的なことが大事になるでしょうね。
ですが、将来、津波などの具体的な研究をしたいと思っている高校生が数理の研究に进めば、そういうことをする素养は培われるでしょう。将来的に津波の数値解析などをするにしても、根本のメカニズムは数学で学んでおかないと表面的にしか分かりません。数学的なことをきちんとするとしっかりとしたベースがあるのから强いです。

数学と物理の违い

イ：先生の研究されているものは具体的に何に利用されるものなんですか？

广：うーんそれは数学の人には禁句に近いものがあるんだな

イ：そうなんですか？

广：例えば、数学的に面白い现象を见つけたとして、物理の人はそれに物理的に意味ある结果につながらないと无意味です。でも数学の问题意识としては物理的な意味の有无は関係ない。それが物理と数学の最大の违いなんです。
役に立つかどうかが最初から分かるものではありません。
例えば「虚数」の话。

イ：虚数って2乗して－1になるような、わけの分かんない数ですよね？高校の时に习いましたね。
现実にないものをなぜ勉强するのかがどうも釈然としませんでした。

广：そう、この现実にはあり得ない数字が方程式の解として考えられた时は、荒唐无稽だとバカにされ见向きもされませんでした。でも何百年もたった今、数学だけでなく工学などあらゆる分野で利用される大事な定义になってます。

イ：虚数って现実にない数字ですよね？それが现実の世界に役立ってるんですか？

广：虚数で求めた结果というより、虚数を定义することにより広がる世界を道具として使う。
その道具により现実の実の世界を扱うことが出来るんですよ。

イ：なるほど（分かったような分からないような???）

广：好奇心だけでやってるところもありますが、それが、効率的な计算の役に立ち、実际の具体的なところに応用されているんです。
フェルマーの定理って闻いたことがありますか？

イ：ＴＶドラマに数学博士が登场すると、その定理を语るのが定番ですよね。有名な定理なんでしょう？

广：300年以上も多くの研究者が取り组んだ有名なテーマです。これを研究するために、膨大な外堀を埋める研究があったんです。今実际に応用されているネットワークの暗号理论なんかはその中から出た成果のひとつです。そんな风に将来的には役に立つかもしれないですよ。

いつから数学が好きになったか

イ：やはり中学高校の顷から数学が得意でした？

广：もちろんといいたいけど、そうでもなくて、高校2年では文系でした。1年の时は数学で赤点取ったことも（笑）

イ：あらら

广：高校1年の顷は作家になりたくて、友达とＳＦを书いていました。
书いている小説にガンダムに出てくるみたいなスペースコロニー（宇宙空间に作った人工の居住空间。街）を出したんです。筒状のコロニーが回転する远心力で人工の重力を作り出す仕组みで、筒の中の人は远心力で筒の内侧に立てるようになっているんですよ。僕は细かい描写が好きなので、直径何办尘のスペースコロニーが何办尘/秒で回転してるという描写がしたかったんですよね。

イ：リアル指向ですね。

广：そうすると嘘は书けない。
中学校の时の物理の教科书を引っ张り出してきて、とにかく计算しなくちゃいけない。その1行の描写の為にね。
これをきっかけに物事を数式で表せて、それを解くと色々なことが分かるということに関心を持ちはじめたんです。
私 にとって数学は疑問を解決する道具ということが出発地点。だから、まずは物理に興味を持った。でも、つじつまが合わなくなって再計算、そしてまた計算???と繰り返すうちに根本に戻って勉強しなきゃいけないということになり???で、しだいに数学に興味を持つようになってきたんだ。

イ：なるほど、ＳＦから物理、そして物理から数学のへという道のりだったんですね。

工作倶楽部

イ：沢山の面白い作品がありますね。
先生が指导されているの作品でしょうか？

广：指导じゃなくて一绪になって作るんです。工作倶楽部は　週1回くらいの频度でやってます。
ガンダムのプラモデルを作ることが好きだったくらいで、作ることは好きなんです。
今は数学で出てくる曲线や曲面なんかはコンピュータで简単に描けますが、昔はそうはいかなかったから、形を体感できるように模型を作る伝统があるんです。模型を作るには実际に数字を入れて计算しなければならないでしょ？数学に対する理解が深まります。　

イ：お気に入りの作品はどれですか？

广： いろいろあるんですけど　例えばこれ（写真?「円錐と円柱の交差」）。
筒が、丁度入るように計算して、展開図を作ります。適当な穴を開けたのでは、ぴった りには入らないです。
叁角関数や多少大学で使う计算も必要になってきます。やってみると计算の意义が分かります。ぴったり収まると気持ちがいいですよ。

广：これは3次元のハート形を描く関数ですよ。

イ：関数でかわいいハートが書けるんですか！ 面白い?

广：その解が空间上に描く立体を平面を积み重ねて再现してみました。
この二つのハートの作品は関数は同じもので、　切る断面を変えたものです。（

测锄平面に平行な平面でスライス	虫测平面に平行な平面でスライス	平面のハートなら、この関数で

イ：（←）不思议な形ですね。

广：穴のあいたリングの周りを纽を２周まわしながら、リングに５回巻きつけて出来る形状で、「(2,5)型トーラス结び目」とよばれるものです。

イ：面白い形ですね。インテリアにも良さそうな素敌なオブジェです。部屋に欲しいな。制作费はどれくらいですか？制作时间は？

广：ケースが一番高いくらいだから500円くらいかな。
时间は结构かかりますね。

イ：必要なのは根気と計算能力???ってことですね。 うーん。

广：「正十二面体」 を円錐で作りました （ ↓ ）
正十二面体は、正五角形が１２面の立体ですから、５角锥１２个を组み合わせると出来ます。
この５角锥の代わりに５角锥に内接する「円锥」で作ったものがこれです。
円锥の展开図は扇形、问题は扇形の中心角を何度にすればよいかです。綺丽に仕上げるには、かなり精度の高い部品を作る必要があります。

广：防府のソラールの小学生向け教室でこれをやったことがあります。
もちろん角度はこちらが指示するんですが、その时、叁角関数の质问をされました。

イ：小学生から叁角関数の质问ですか！

广：その子は、出来上がった円錐多面体を定規で測っては計算をしてましてね???何をやってるんだろうと思ってたら、自分が三角関数を使って計算した長さと実物の長さが違うと言ってきたんです。

イ：确かめていたんですね。

广：彼は、ちゃんと紙上の計算結果と実際にできるものとの関係を調べようとしていたんですよ。
そうやって　计算结果を実物で検証しようというのは素晴らしいことです。
今の学生は纸の中の世界だけに闭じてしまいがちに思います。実物との関连にもっと目を向け、それをどう応用するかということにももっと兴味を持ってほしいです。
それがこの倶楽部を始めたきっかけでもあります。

数学の研究

イ：世纪を跨ぐ谜に挑戦！スケールの大きい世界ですよね。この世界に挑戦したいと思う人はどうすればいいですか？

广：サッカーと一緒で、まっすぐ蹴ったり走ったりという基礎が出来てないとゲームは楽しくない。
それと同じ基础に当たる部分が数学では分数の计算だったり叁角関数だったりするわけです。
まずは计算能力を锻えることです。走り込んだりボールを蹴る练习をするようにね。
それをクリアすればその先に楽しめるものがある。

イ：どんな学生に数理科に来てほしいですか？

广：数学が好きな人が来ればいい。それが一番大事。
1,2年で大学の数学の基础トレーニングが终わり、3年后期からゼミに入り、より深い理解が出来て世界が広がる。そこから数学が面白くなってきます。ようやくゲームが楽しくなるってことですよ。
表面的な计算で満足せず、実际にどういう応用をされているかというところまで深く突き詰めて考えてほしいですね。そして楽しんでほしい。

(写真：正十二面体の面の中心点をつなぐと
中に正二十面体が出来ている。)

イ：大学で数学を学ぶ意义は何でしょう？

广：大学で学ぶ数式がそのまま企業で役立つというものではないでしょう。
大学で数学を勉强する意义は、数学という道具を使っていろいろな问题をロジカルに解决する训练をするということですね。それは実际のいろいろな现场で役立つものでしょう。

イ：论理的な思考が身に付くということですね。

广：それともう一つ、数式を見ても拒否反応を示さなくなりますね。
公司などで新しいことを始めるにあたって説明に数式が出てくると、「これは駄目だ！」って挫ける人が多いようですが、数理の学生は日々训练をしているわけですからね。耐性があります。

イ：耐性…（笑）

インタビュー：2014年2月7日（金）